032 计算机辅助卡诺图化简逻辑函数样本
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论文大概：
 

 

 

目        录

摘要……………………………………………………………………………….   2
Abstract…………………………………………………………………………   3

第一章 逻辑函数……………………………………………………………….   4
1.1  逻辑函数的基本概念及表示方法……………………………………   4
1.2  逻辑函数的化简………………………………………………………   5
 
第二章 卡诺图………………………………………………………………….   6
2.1 卡诺图的诞生及发展……………………………………………………..  6
2.2 卡诺图的特点及化简……………………………………………………..  9
2.3 卡诺图与真值表的关系………………………………………………….. 12
 2.4 逻辑函数在卡诺图上的表示…………………………………………..   12
 2.5  用卡诺图化简逻辑函数过程中的几个问题…………………………   13

第三章 计算机辅助卡诺图化简逻辑函数……………………………………..  15
  3.1 卡诺图的应用……………………………………………………………..  15
3.2 计算机辅助卡诺图化简逻辑函数………………………………………   16
  3.3 辅主程序…………………………………………………………………   18

 

 

 

 

摘 要
 
随着电子技术的迅速发展,卡诺图已经成为逻辑设计中常用的一种数学工具。由于卡诺图形象、直观,能把各种复杂的逻辑函数用图形表示出来。因此,卡诺图在电子技术中得到了广泛的运用。
在数字电路中,逻辑函数的表示方法有：真值表,函数表达式,逻辑图以及卡诺图。卡诺图的人工化简逻辑函数历来为试凑法,无一定规律可循,繁琐而且易出错。而用计算机辅助卡诺图来化简逻辑函数的方法将克服人工算法的缺点,使化简更方便有效。

关键词： 卡诺图,逻辑函数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Abstract
Along with the technical and quick development in electronics, the Karnaugh Map has become in common use as a kind of mathematics tool in logic design.Because Karnaugh Map can vividly direct perception audio visual view can means out every kinds of complicated logic function by graphic.Therefore, the Karnaugh Map got the extensive application in electronics technique.

In digital circuit, methods to express logic function consist of:True table, the function expresses type, logic diagram and Karnaugh Map.Manual method to simply the logic function by Karnaugh Map has been trying to gather together the method, neither settle the regulation can follow, tedious and come amiss easily.With the computer assistance Karnaugh Map the method of the logic function will overcome the weakness of the manual simply, making turn alone more convenient and valid.

 

Keywords: Karnaugh Map, Logic function

 

 

 

 

 

第一章  逻辑函数
1.1 逻辑函数的基本概念及表示方法
一．基本定义：
当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数——这种代数就是逻辑代数,这种变量就是逻辑变量,这种函数就是逻辑函数。
另外一种定义是：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起,得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010 ）L有唯一的值与之对应,则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：
L=f(A、B、C、D)
逻辑代数,亦称布尔代数,是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时,这种代数纯粹是一种数学游戏,自然没有物理意义,也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。其规定：
1． 所有可能出现的数只有0和1两个。
2． 基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。
与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（ 为与运算符,后用 代替）：
    0 0＝0 0 1＝0 1 0＝0 1 1＝1 或
0 0＝0 0 1＝0 1 0＝0 1 1＝1
或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（ 为或运算符,后用＋代替）：
         0 0＝0 0 1＝1 1 0＝1 1 1＝1 或
0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1
非运算（取反）定义为：
    
至此布尔代数宣告诞生。
1.2  逻辑函数的化简
逻辑代数是用于逻辑分析的一种数学工具。逻辑函数的形式多种多样,表达式的形式不同,则实现它的逻辑电路也就不同。逻辑函数化简是逻辑电路设计中十分重要的一环。逻辑函数化简的目的是使根据逻辑函数实现的电路最简单。一般来说,单端输出函数化简后的表达式愈简单(项数愈少,每项中的变量数愈少)则实现的逻辑电路也就愈简单。
逻辑电路的代数表达式存在多种形式。对于同一个逻辑电路来说,尽管这些函数表达式描述的功能相同,但其电路实现时的复杂性和成本却各不相同。一般而言,表达式越简单,实现电路也将越简单,成本也将越低。同时,电路的可靠性也将越高。因此通常情况下,为了简化电路结构、降低成本、提高可靠性,必须首先对逻辑函数进行简化。
通常,逻辑函数的化简方法有两种:公式化简法和卡诺图化简法。实践表明:用公式法化简逻辑函数时,除需要掌握大量的基本公式外,还需有一定的技巧:且在化简的过程中,可用的公式很多,究竟用哪些公式较好?化简到什么程度为最简式？均难掌握。
因此公式化简法只适用于比较简单的逻辑函数化简。而比较复杂的逻辑函数常用卡诺图法来进行化简。因为卡诺图化简法能直观地、正确地得到函数的最简表达式,它是逻辑函数化简中较实用的一种方法。在数字电路中,逻辑函数的表示方法有：真值表,函数表达式,逻辑图以及卡诺图。
而卡诺图又分为变量卡诺图和逻辑函数卡诺图。所谓变量卡诺图就是用图示的方法,将各种输入变量取值组合下的输入函数值一一表示出来；在变量卡诺图的基础上,把构成函数的最小项填入相应的小方块中,便可得到逻辑函数的卡诺图。

第二章  卡诺图
2.1卡诺图的诞生及发展
卡诺图是一种用来直观地描述逻辑函数的平面方格图。由于这种方格图是由一位名叫卡诺（Karnaugh）的美国人发明的,因此人们通常将其称为卡诺图（ Karnaugh  Map）。卡诺图不仅可以用来描述逻辑函数,而且更重要的是他还可以用来化简逻辑函数。
一个函数可以用表达式表示,也可以用真值表来描述,但如果用真值表来表示时,对函数进行化简很不直观,美国工程师卡诺（Karnaugh)提出了一种描述逻辑函数的特殊方法。
在这个方格图中,每个小方格代表逻辑函数的一个最小项,而且几何相邻的小方格具有相邻性,即两个相邻小方格所代表的最小项仅一个变量取值不同,这种特殊的小方格图通常称之为卡诺图（K-Map）。

2.2  卡诺图的特点及化简
•卡诺图的性质
卡诺图上任何两个(21个)标“1”的相邻最小项,可以合并为一项,并消去一个变量；
卡诺图上任何四个(22个)标“1”的相邻最小项,可以合并为一项,并消去两个变量；
卡诺图上任何八个(23个)标“1”的相邻最小项,可以合并为一项,并消去三个变量；
  依次类推,卡诺图上任何2n个标“1”的相邻最小项,可以合并为一项,并消去2n个变量；

•卡诺图的结构
卡诺图实际上是由真值表变换而来的。真值表有多少行,卡诺图就有多少个小方格。卡诺图上的每一个小方格代表真值表上的一行,因而也代表一个最小项或最大项。即每一个小方格与一个最小项对应。卡诺图实际上是由真值表变换而来的。真值表有多少行,卡诺图就有多少个小方格。卡诺图上的每一个小方格代表真值表上的一行,因而也代表一个最小项或最大项。即每一个小方格与一个最小项对应。
•卡诺图构造的两个特点
n个变量的卡诺图由2n个小方格组成,每个小方格代表一个最小项；
卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项

卡诺图的化简步骤
用卡诺图化简的过程简单地可分为三步：
1.首先将逻辑函数用卡诺图表示出来。
2.合并卡诺图中为“1”的最小项；将所有相邻的“1”按2的整数次方个为“1”的方格为一组构成若干个矩形圈,这种圈称为卡诺圈,所有圈中必须至少有一个“1”方格没有被圈过,并所有的圈尽可能大。
3.写出最简的函数表达式。
例 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)。

上图中有两种圈法,在图a中最大的圈中每一个“1”都已经被圈过“0”,如果写出其表达式共有5项,而图b的圈法是正确的。其化简的表达式为：
 
例 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(2,3,5,7,8,10,12,13)。
 
从上图上可以看出：图a,b的圈的个数相同,并且都没有重复,其结果都是4项,是哪一个对呢？答案是全对。对于函数的化简其结果不具有唯一性,函数表示的唯一性仅在最大项表达式或最小项表达式才具有。其结果为：
 
 卡诺图的化简依据：
利用卡诺图化简函数的依据在卡诺图的构成特点中已讲到了,即卡诺图中每两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量不同,如果相邻的两个小方格填的是1,则利用构成特点消去一个变量。
 
 上图列出了常见的相邻方格个数为2和4的情况。